Фамилия Бивняева образована от прозвища или мирского имени Бивень. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Бивняев — сын Бивня, то есть потомок человека по прозвищу Бивень. Само слово «бивень» в русских говорах имело несколько значений. Прямое — большой клык животного (слона, моржа, кабана), но в переносном смысле так могли назвать человека с крупными, торчащими зубами, либо человека неуступчивого, «крепкого на слово», упрямого. Возможна и другая версия: в некоторых диалектах «бивень» означало «биток», «костяная палка» для игры в бабки — в таком случае прозвище мог получить либо игрок, либо мастер, делавший такие битки.

Фамилия редкая и географически привязана к южнорусским и центральным областям. Встречается в Тамбовской, Воронежской и Рязанской губерниях, где в документах XVII–XVIII веков фиксируются крестьяне и однодворцы с основой Бивнев/Бивняев. Суффикс -яев вместо более привычного -ев — особенность, возникшая из-за мягкого произношения основы: Бивень — Бивня — Бивняев. Такая модель характерна для фамилий, образованных от прозвищ на -ень (например, Корень — Корняев, Камень — Камняев).

В отличие от фамилий на -ов (Бивнев), форма Бивняева сохранила след старого родительного падежа: буквально «чей?» — Бивняев, то есть принадлежащий Бивню. Это указывает на то, что прозвище Бивень в семье было устойчивым и передавалось по мужской линии как родовое имя ещё до закрепления фамилии. Сословно фамилия почти наверняка крестьянская, без дворянских корней — в родословных книгах и списках служилых людей Бивняевы не отмечены.