Фамилия Бижбалова — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корень, нужно отбросить суффикс -ов- и окончание -а, типичные для русских фамилий женского рода. В основе лежит мужская форма — Бижбалов.

Первое, что бросается в глаза: основа «Бижбал-» не похожа на славянские корни. В русском языке нет слова «бижба» или «бал» в значении, из которого можно было бы легко вывести прозвище. Скорее всего, фамилия тюркского происхождения. Её можно разбить на две части: «биж» (или «биш») и «бал».

«Биш» в ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) означает «пять». «Бал» — «мёд» или «дитя» (в значении «ребёнок», «малыш», часто в ласкательной форме). Если принять «бал» как «мёд», то «биш бал» — «пять мёдов» или «пятый мёд», что могло быть прозвищем пасечника или торговца мёдом. Однако более вероятно, что «бал» здесь — это «ребёнок». Тогда «биш бал» — «пятый ребёнок» (то есть пятый сын в семье). В тюркской среде такие именования по порядку рождения (Бишбай, Бишкул) встречались часто. Со временем прозвище Бишбал закрепилось как фамилия, а русское окончание -ов сделало её привычной для русского уха.

Версия славянского корня маловероятна. В некоторых говорах есть слово «бижба» (беда, напасть), но соединение с «бал» (в значении «баловать» или «бал» как танцевальный вечер) даёт натянутую и семантически странную конструкцию вроде «тот, кто балует бедой». Такое толкование не выдерживает критики.

Географически фамилия Бижбалова тяготеет к регионам с сильным татарским и башкирским влиянием — Оренбургская область, Башкортостан, Татарстан. Встречается она и на Урале. Носители фамилии, скорее всего, потомки тюркского населения, которое перешло на русский язык или получило фамилию при русификации.

По суффиксу -ов- можно сказать, что фамилия формировалась в русской среде или через русское делопроизводство: к тюркскому прозвищу добавили типичный русский патронимический суффикс, означающий «сын» или «принадлежащий». Так Бишбал стал Бишбаловым, а позже — Бижбаловым (звук «ш» мог перейти в «ж» под влиянием местного произношения или при записи).

Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, был тюрком по происхождению, пятым сыном в семье, а его прозвище со временем обросло русским окончанием, превратившись в фамилию, которую вы носите сегодня.