Фамилия Бобожей — редкий случай, когда сразу бросается в глаза суффикс. В русских фамилиях типичны -ов, -ин, -ский, а здесь — -ей. Такое окончание чаще встречается в украинской и белорусской традиции, где фамилии могли образовываться без дополнительных суффиксов, прямо от прозвища или имени. Значит, корень Бобож- — это и есть основа, а -ей — скорее всего, патронимический суффикс, указывающий на происхождение от отца или предка.

Сама основа Бобож- звучит как вариант личного имени или прозвища. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: Бобож — это форма от имени Богдан, но с характерным для юго-западных говоров смягчением или перестановкой звуков. В украинском языке «бодай» (хотя бы, пусть) могло повлиять на произношение, и «Богдан» через «Бодан» или «Бодаж» превратилось в «Бобож». Вторая версия, более прозаичная, связывает фамилию с диалектным словом «бобож» или «бобожа» — так в некоторых западных областях могли называть бобовое растение или, в переносном смысле, медлительного, флегматичного человека, похожего на набухший боб.

География фамилии подтверждает украинско-белорусское происхождение. Бобожей встречается в основном на западе Украины (Волынь, Ровненская область) и в приграничных районах Беларуси. Там же фиксируются однокоренные фамилии Бобож, Бобоженко, Бобожинский. Социальный контекст прост: носители фамилии, скорее всего, происходили из крестьян или мещан, и фамилия закрепилась в письменных источниках не ранее XVII–XVIII веков, когда на этих землях начали массово фиксировать фамилии по отцу или прозвищу.

Таким образом, Бобожей — это фамилия-отчество, образованная от прозвища или сокращённой формы имени Богдан. Её необычное для русского уха окончание — прямое указание на западнорусские (украинские или белорусские) корни предков.