Фамилия Бодревские — редкий пример, когда географическая привязка видна сразу, а вот корень заставляет задуматься. Окончание -ский (в женском роде -ская) указывает на происхождение от названия места: скорее всего, от топонима Бодрево или Бодрово. Такие фамилии в XVI–XIX веках получали дворяне по названию своего поместья, а также духовенство и выходцы из западнорусских земель, где фамилии на -ский особенно распространены. Если ваши предки — из Беларуси, Украины или Смоленщины, версия с топонимом становится основной.

С корнем сложнее. Основа «Бодр-» может восходить к древнерусскому прилагательному «бодрый» — быстрый, живой, смелый. В этом случае прозвище Бодрый давали человеку энергичному, расторопному. Фамилия от такого прозвища обычно выглядит как Бодров или Бодрин, но в форме Бодревские могла появиться, если основа попала в модель «от названия села Бодрово». Вторая версия — от имени Богдан или Борис в диалектном произношении с утратой слога (Бодан → Бодр), но это менее правдоподобно: нет устойчивых источников, подтверждающих такой переход.

Стоит учесть, что фамилия Бодревские встречается в польских и белорусских метриках: там она могла записываться как Bodrzewski. Польский суффикс -ewski (русский аналог -евский) часто присоединяли к названиям деревень на -ewo. Если ваши предки были шляхтой, фамилия могла закрепиться за родом, владевшим хутором Бодрево. В крестьянской среде такие фамилии — редкость, их чаще давали переселенцам при переписи по названию места выхода.

Сословная принадлежность не определяется однозначно. В архивах можно найти как священников Бодревских (типично для фамилий на -ский у духовенства), так и мещан. Единственное, что объединяет носителей — привязка к определённой местности, скорее всего, в пределах бывшего Великого княжества Литовского. Если хотите уточнить историю, ищите в метрических книгах Гродненской, Минской или Витебской губерний — там шанс найти ранние упоминания выше, чем в центральной России.