Фамилия Босхаева — один из тех случаев, когда написание подсказывает географию, а корень указывает на прозвище. В первую очередь обращает на себя внимание финаль «-аев». Это не стандартный русский суффикс «-ев», а вариант, характерный для тюркских языков, где «-аев» часто передаёт притяжательное значение («сын такого-то»). Поэтому искать происхождение Босхаевых логичнее всего не в центральной России, а в зоне контакта славянских и тюркских народов — на Северном Кавказе, в Поволжье, среди казачества или в среде калмыков и татар.

Основа фамилии — «Босха» (или «Босх»). Здесь возможны два основных пути, и оба ведут к прозвищу. Первый — от тюркского слова «бос» (пустой, свободный, холостой) или «босх» (в некоторых диалектах — «господин», «хозяин»). В таком случае Босхаем могли прозвать вольного человека, неженатого парня или, наоборот, зажиточного домовладельца. Второй вариант — от калмыцкого или монгольского «босх» (вставать, подниматься). Тогда прозвище могло закрепиться за человеком с раним характером, который быстро «вставал на дыбы», или, напротив, за ранним птахом, кто вставал до зари.

Интересно, что фамилия Босхаева встречается в двух заметных регионах, далёких друг от друга: в Калмыкии и в Чечне (особенно среди казачьего населения). Это не случайно. В калмыцкой среде фамилия легко объясняется из монгольских корней и часто имеет форму Босхаев. В чеченских и терских казачьих станицах фамилия могла появиться как русифицированный вариант местного имени или прозвища, занесённого переселенцами. Сословно предки Босхаевых, скорее всего, были государственными крестьянами или казаками — в этих средах фамилии на «-аев» особенно распространены.

Таким образом, если ваши предки — из степей Калмыкии, корень, вероятно, связан с движением или статусом. Если из предгорий Кавказа — с прозвищем по характеру или холостым положением. В любом случае, фамилия Босхаева — яркий маркер южных степных и кавказских границ России, где русская фамильная модель накладывалась на тюркскую основу.