Фамилия Бозбашаев — редкий пример тюркско-русского скрещения, где исходное прозвище или именование было переработано по славянской модели. Её основа — тюркское «бозбаш». Разберём состав: «боз» в тюркских языках означает «серый», «сивый» или «белёсый», а «баш» — «голова». В буквальном переводе «бозбаш» — «седая голова» или «сивоголовый». Такое прозвище на Кавказе и в Средней Азии могли дать человеку с заметной сединой, особенно если она появилась рано, либо пожилому, уважаемому мужчине.

Самый неочевидный момент — суффикс «-ев». Фамилия Бозбашаев образована не напрямую от «бозбаш», а от усечённой формы «Бозбаш» с добавлением русского патронимического суффикса «-ев». Это типично для фамилий, возникших в среде тюркоязычных народов, попавших в зону русского административного влияния (Северный Кавказ, Закавказье, Поволжье). В тюркской среде «бозбаш» могло быть личным именем или прозвищем, а при переходе в русскую фамилию его «обрусили»: Бозбаш → Бозбашев → Бозбашаев (с характерным для некоторых диалектов переходом «ш» в «ш» перед «а» или просто как вариант записи).

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с названием блюда. Бозбаш (или бозбаш) — это густой мясной суп, распространённый в азербайджанской, армянской и турецкой кухнях. Если предок был поваром, содержал харчевню или отличался любовью к этому блюду, его могли прозвать «Бозбаш», а потомков записать как Бозбашаевых. Однако прозвища по еде обычно даются в более простой форме (например, Плов, Каша), а не через сложное составное слово, поэтому версия с сединой выглядит убедительнее.

Фамилия почти не встречается за пределами постсоветского пространства. Её носители сосредоточены в основном в Азербайджане, Дагестане и среди тюркоязычных групп Ставрополья. В русском написании иногда путают с Бозбашевым — разница в одной букве, но обе формы восходят к одному корню. Социального статуса фамилия не отражает: её мог получить и крестьянин, и ремесленник, и отставной солдат — важно лишь, что исходное прозвище закрепилось в документах при переписи или вероисповедании.