Фамилия Бришута — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её форма, оканчивающаяся на -ута, сразу выбивается из ряда типичных русских фамильных суффиксов. В русской ономастике финаль -ута чаще всего указывает на украинское или белорусское происхождение, где такие окончания характерны для прозвищ и фамилий (сравните: Макута, Хомута, Гута). Поэтому первая и основная версия: Бришута — это украинизированное или западнорусское прозвище, которое закрепилось как фамилия.

Основа «бриш-» не имеет однозначного толкования в славянских языках. Скорее всего, это искажённое или диалектное произношение слова «брить» или «бритый». В говорах западных областей (особенно на границе с Беларусью и Польшей) глагол «брить» мог звучать как «бриш» или «брыш» — с характерным шипящим на конце. Тогда Бришута — это человек с гладко выбритым лицом, без бороды. В крестьянской среде, где ношение бороды было нормой (особенно у старообрядцев или просто по традиции), такой человек выделялся и легко получал прозвище. Суффикс -ута придаёт слову оттенок ласкательности или, наоборот, пренебрежительности — что-то вроде «Бритый» или «Бритень».

Вторая, менее вероятная версия — связь с литовским или балтским корнем. На территории современной Беларуси и Литвы встречаются топонимы и прозвища, начинающиеся на «бриш-» (ср. литовское brišis — «бродяга» или «задира»). Но для утверждения этой гипотезы нет надёжных лингвистических параллелей в русском контексте.

Искать носителей фамилии Бришута стоит в первую очередь на западе Украины, в южной Беларуси и, возможно, среди переселенцев в Сибирь или на Дальний Восток (куда в XIX–XX веках уезжали крестьяне из малоземельных губерний). Фамилия недворянская, не книжная — она вышла из простонародной среды и сохранила в себе живое прозвище, которое когда-то дали человеку за его внешность или привычку бриться.