Фамилия Бщйко — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает произношение. На первый взгляд сочетание «бщ» кажется опечаткой или искажением, но на деле это графический след из прошлого. В дореволюционной орфографии буква «ять» (ѣ) на письме передавала звук, близкий к современному «е» или «и». Фамилия Бщйко — это Бѣйко, то есть Бейко, где «ѣ» со временем превратилось в «щ» из-за неверного прочтения или технической ошибки при переписи. В белорусском и украинском языках «ѣ» часто переходило в «і» (Бійко), но в русских документах могло закрепиться странное написание.

Основа фамилии — глагол «бить» или производное от него прозвище Бейко. В восточнославянской ономастике суффикс -ко типичен для украинских и белорусских фамилий, где он указывал на молодого человека или сына: Бейко — «сын или ученик того, кого звали Бей». Само прозвище Бей могло означать драчуна, забияку, либо человека, который бил молотом (кузнеца) или работал с боем (например, набойщик холстов). Встречается и другая версия: от тюркского «бей» (господин, князь), но для фамилии с суффиксом -ко это менее вероятно — тюркские основы чаще дают фамилии на -ов/-ев.

Географически фамилия Бейко (и её искажённые варианты) распространена на западе Украины, в Беларуси и южных регионах России. Встречается также у потомков казаков — прозвище могло закрепиться за бойким, решительным человеком. Написание «Бщйко» — почти наверняка результат канцелярской ошибки XIX–начала XX века, когда переписчики путали «ѣ» и «щ» из-за схожести в скорописи. Потомки могли сохранить такую запись в паспортах, и она стала официальной.

Если ваша фамилия пишется именно так, то исторически она звучала как Бейко. Корень простой и ясный, без сложной этимологии: предок был либо драчуном, либо кузнецом, либо просто человеком с бойким нравом. Никаких дворянских корней или редких ремёсел — зато есть живая история буквы, которая выжила в необычном виде.