Фамилия Бщженко — редкий случай, когда ошибка в написании, скорее всего, стала нормой. С большой вероятностью, перед нами искажённая запись фамилии Бжженко или Боженко, возникшая из-за опечатки в паспортном столе или при переписи. В русском языке нет привычного корня «бщж», а сочетание «щж» почти невозможно для произношения. Поэтому первое, что нужно понять: предки этого человека, скорее всего, носили фамилию, образованную от слова «божок» или «божий».

Если отбросить вероятную опечатку, то основа фамилии восходит к украинскому или южнорусскому прозвищу Божко. Это уменьшительная форма от слова «бог» или от имени Богдан. Суффикс -енко — типичный для восточной Украины, он указывает на потомка: Боженко — «сын Божка». Такие фамилии давали либо человеку, который считался благочестивым, либо, наоборот, иронично — тому, кто часто поминал бога всуе. Вторая версия, менее распространённая, — связь с диалектным «божок» (маленький бог, идол) или с ремеслом: так могли прозвать резчика по дереву, делавшего иконы и фигурки святых.

Географически фамилия Боженко (и её варианты) чаще всего встречается в Черниговской, Полтавской и Киевской областях. Если же ваша фамилия пишется именно как Бщженко, то это, скорее всего, единичный случай — результат ошибки, закрепившейся в документах. В ономастике такие «сбойные» написания называют гаплографией или простой опечаткой, которая со временем стала фамильной. Других правдоподобных версий у этого сочетания букв нет.