Фамилия Буднешевский — редкий случай, когда корень прозрачен, а суффикс настораживает. Основа «буднеш-» явно связана со словом «будний» (будничный, повседневный). Но почему здесь не «Будневский» или «Буденовский»? Дело в суффиксе -еш-, который в восточнославянских фамилиях почти не встречается. Скорее всего, перед нами полонизм или белорусская черта: суффикс -еш- мог прийти из польских прозвищ (типа «Będziesz» — «будешь»), трансформировавшись в фамилию на -ский. Вторая версия проще: фамилия могла образоваться от названия населённого пункта вроде Буднешево или Буднеши, хотя в современных географических справочниках таких топонимов нет.

Если отбросить экзотику, самый вероятный сценарий — прозвище Буднеш, которое дали человеку, жившему «буднями», то есть занятому тяжёлой работой, без праздников. Суффикс -еш- в таком случае мог быть уменьшительным или пренебрежительным (сравните «дурачок» и «дуралеша»). Позже к основе добавили типичный для шляхетских и мещанских фамилий суффикс -ский, который в Речи Посполитой носили не только дворяне, но и горожане, желавшие звучать «по-благородному».

Географически фамилия тяготеет к западным регионам — Беларуси, Украине, восточной Польше. В России она редка и встречается в основном среди потомков переселенцев из этих земель. Сословная принадлежность предков, скорее всего, мещанская или крестьянская: прозвище «будничный» не давали вельможам. Встречается также вариант Буднешевский — с ударением на «е», что подтверждает польское происхождение (в польском ударение падает на предпоследний слог).

Однокоренные фамилии — Будников, Будневский, Буденко — показывают, что корень «буд-» был распространён, но именно форма с -еш- делает Буднешевского уникальным. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из западнорусских земель, где польское влияние смешивалось с местными говорами, а фамилии часто придумывали «на слух», не оглядываясь на литературную норму.