Фамилия Бугосркий — редкая и, скорее всего, искажённая на письме. Вероятнее всего, мы имеем дело с опечаткой или диалектным произношением, которое закрепилось в документах. Исходная форма, с высокой долей вероятности, — Бугорский.

Если исходить из версии «Бугорский», происхождение прозрачное: основа «бугор» (возвышенность, холм). Фамилия относится к «географическому» типу, образованному с помощью типичного для польской и западнорусской шляхты суффикса -ский. Первым носителем мог быть помещик, владевший имением Бугры, или крестьянин, переселившийся из села с таким названием. В России и Беларуси немало топонимов Бугры, Бугорки, Бугроватое — фамилия могла возникнуть независимо в разных регионах.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с прозвищем Бугор (человек с заметной шишкой, горбом или просто коренастый). В этом случае фамилия прошла бы через модель «Бугор → Бугорский», что для русских фамилий нехарактерно (обычно было бы Бугров), но для украинской или белорусской традиции допустимо.

Сам вариант Бугосркий — с перестановкой букв «р» и «с» — типичная ошибка писаря или описка в паспорте. В XVII–XIX веках, когда фамилии записывали на слух, такие метаморфозы случались сплошь и рядом. Поэтому, если вы ищете корни, стоит смотреть в первую очередь документы предков под фамилией Бугорский, а также Бугров и Бугорин — все они однотипны по смыслу и связаны с рельефом местности или внешностью.

Сословная принадлежность у Бугорских могла быть разной: от однодворцев (южнорусских крестьян-землевладельцев) до мелкопоместных дворян, если фамилия действительно шляхетская по суффиксу. Но без конкретных генеалогических записей утверждать что-либо нельзя.