Фамилия Бякшев — тюркская по происхождению, что видно и по корню, и по географии её распространения. Основа «бякш» или «бакш» восходит к слову «бакша» — в ряде тюркских языков так называли писца, писаря, а также учителя или знатока письменности. В более широком смысле — грамотный человек, чиновник низшего звена при хане или крупном феодале. Русский суффикс -ев присоединили по модели отчества: Бякшев буквально означает «сын Бякша» или «потомок писаря».

Редкий звуковой облик фамилии — с начальным «Бя» — указывает на то, что исходное слово в местном говоре произносили с мягким согласным. В русских документах XVI–XVII веков встречаются варианты «Бакшев» и «Бакшин» — они гораздо чаще. Бякшев — это, скорее всего, диалектная или фонетическая запись того же имени. Фамилия могла закрепиться за служилыми татарами или мордвой, которые переходили на русскую службу и получали поместья в центральных уездах. В писцовых книгах такие люди нередко записаны как «новокрещены» или «служилые татары».

Сейчас фамилия редкая. Основные очаги — Поволжье (Татарстан, Башкортостан, Удмуртия) и прилегающие области: Кировская, Нижегородская, Пермский край. Встречается и у русских, и у татар, и у марийцев — что типично для фамилий, возникших на стыке культур. В словаре тюркских заимствований в русских фамилиях (работы Н. А. Баскакова) Бякшев обычно связывают именно с «бакша» — писарь, хотя сам Баскаков чаще приводит форму «Бакшев». Вариант с мягким «Бя» — более локальный и поздний.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были грамотными людьми при местной администрации — писарями, переписчиками, приказными — или происходили из служилых татар, получивших землю за службу.