Фамилия Бяшаров — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а тюркская, но оформление получило по русской модели. Разберём её по частям.

Корень «Бяшар» — это адаптированное на русский слух имя или прозвище. Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «башар» (человек, лицо) или имя Башар, распространённое у многих тюркских народов (татар, башкир, казахов). В тюркских языках «баш» — голова, начало, а «башар» может означать «человек» (от «баш» + суффикс лица). Встречается и арабское имя Башшар (весельчак, несущий радость), но в русской среде оно чаще проходило через тюркское посредничество, поэтому форма «Бяшар» с «я» вместо «а» — результат фонетического освоения (аканье, смягчение).

Суффикс «-ов» указывает на принадлежность: Бяшаров — сын Бяшара. Это типичная русская патронимическая модель, которая накладывалась на иноязычные имена в XVI–XIX веках, особенно при переходе татарских, башкирских и других мусульманских родов в православие или при записи в ревизские сказки. Фамилия могла закрепиться за крещёным татарином или башкиром, а также за русским, получившим прозвище Бяшар (например, за смуглую внешность или за манеру говорить).

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Уралу: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская, Самарская области. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — от одного рода или нескольких разрозненных семей. В дореволюционных списках Бяшаровы фигурируют среди крестьян и мещан, реже — среди купцов.

Сравните с однокоренными: Башаров (та же основа, но с сохранением «а»), Баширов (от имени Башир). Бяшаров — более редкий вариант, где произошло смягчение первого гласного. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, был выходцем из тюркоязычной среды, а сама фамилия — живое свидетельство культурного и языкового смешения на границе степей и лесов.