Фамилия Бяйга — один из тех редких случаев, где разбор упирается не в русскую, а в тюркскую языковую основу. В привычной модели русских фамилий здесь нет ни привычного суффикса -ов/-ев, ни -ин. Окончание -а указывает на то, что фамилия, скорее всего, застыла в форме именительного падежа, а не прошла через русификацию с помощью типичных патронимических суффиксов. Это наводит на мысль, что перед нами не «сын кого-то», а прямое прозвище или этническое имя, которое записали почти без изменений.

Самая вероятная версия происхождения — от тюркского слова «бяй» (варианты: бай, бей, бий), что означает «господин», «богатый», «князь». В разных тюркских языках (казахском, башкирском, татарском) к этому корню мог добавляться аффикс -га, образующий прилагательное или существительное со значением «принадлежащий баю» или «относящийся к господину». Таким образом, Бяйга — это либо «байский» (человек из рода бая), либо прозвище, данное тому, кто служил у знатного человека или сам претендовал на статус. В казахском языке, например, слово «бяйге» означает «приз» или «ставка» в скачках, но маловероятно, что фамилия произошла от этого значения — скорее, это случайное созвучие.

Географически фамилия Бяйга встречается крайне редко и, по всей видимости, привязана к регионам с тюркским населением — Поволжье, Урал, юг Сибири. В русских архивных документах она почти не фиксируется, что говорит о её локальном бытовании. Возможно, предки носителя фамилии были татарами, башкирами или казахами, а сама фамилия оформилась в XIX веке при переписях, когда писарь записал прозвище на слух, не изменяя его окончание.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Байков, Байгазин, Байгильдин — показывает, что Бяйга стоит особняком: она не получила типичного для русской среды суффикса, что подчёркивает её более «сырой», первичный характер. Если Байков — это уже адаптированный вариант («чей-то сын»), то Бяйга — прямое перенесение прозвища в фамилию, что характерно для ранних этапов формирования фамилий у нерусских народов Российской империи.

Итог: фамилия Бяйга, скорее всего, тюркская по корню, указывает на связь со статусом «бая» или «господина», а её редкая форма без суффикса говорит о том, что она закрепилась в документах как есть, без русификации. Это не ошибка писаря, а особенность записи, которая сохранила исходный облик прозвища.