Фамилия Быховскаяа — пример того, как одна лишняя буква в конце меняет всё. В русской ономастике не существует суффикса -скаяа. Нормативная форма — Быховская, с одним «а» на конце. Второе «а» в окончании — почти наверняка опечатка, возникшая при переписи, в паспортном столе или при заполнении документов. Такое случается нередко: машинистка или писарь механически добавили гласную, приняв окончание за часть суффикса. Поэтому с высокой долей вероятности перед нами не отдельная фамилия, а графический вариант фамилии Быховская.

Если же отбросить опечатку, то фамилия Быховская имеет ясное географическое происхождение. Она относится к типичным «топонимическим» фамилиям, которые давали по названию местности, откуда человек был родом. Основа — Быхов. Это либо город Быхов (Могилёвская область, Беларусь), либо одноимённое село или урочище. Суффикс -ск- указывает на связь с местом: Быховский — тот, кто из Быхова. Женская форма, соответственно, Быховская.

Родовая модель здесь простая: когда мужчина получал фамилию Быховский, его жена и дочери автоматически становились Быховскими. Такие фамилии в XIX веке чаще всего носили дворяне и духовенство — сословия, которые первыми закрепили за собой «географические» фамилии по названиям имений или приходов. Но Быховскими могли записать и крестьянина, переселившегося из Быхова в другую губернию: для учёта ему давали прозвище по прежнему месту жительства.

Таким образом, если вы встретили написание Быховскаяа — это, скорее всего, ошибка переписчика. Правильная историческая форма — Быховская, а её носительница — потомок человека, чьи корни уходят в белорусский город Быхов или одноимённую деревню.