Фамилия Бюрнаев — редкая, и её разбор сразу упирается в вопрос происхождения корня. Скорее всего, перед нами не славянская, а тюркская или, возможно, калмыцкая фамилия, адаптированная русским суффиксом -ев. Основа «Бюрн» не встречается в русских именах и прозвищах, зато легко соотносится с тюркским словом «бюр» (волк) или его производными. В некоторых тюркских языках «бюр» — это волк, почитаемый тотемный зверь. Тогда Бюрнай — это человек, связанный с волком, либо носивший прозвище Волк. Суффикс -ай в тюркских именах часто образует ласкательные или уменьшительные формы, так что Бюрнай могло быть личным именем со значением «Волчонок» или «Волкодав».

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — связь с калмыцким или монгольским «бюрн» (почка) или «бюр» (почка как часть тела). В таком случае прозвище могло указывать на какую-то внешнюю особенность или быть тотемным именем, но это уже область догадок. Поскольку фамилия крайне редкая, её география, скорее всего, привязана к регионам, где historically жили тюркские народы или калмыки: Нижнее Поволжье, Калмыкия, юг Урала, Сибирь. Русский суффикс -ев указывает на то, что фамилию оформили в XIX веке при переходе к паспортной системе, когда отца или предка по имени Бюрнай записали как Бюрнаева.

Социальный контекст: если корень тюркский, предки Бюрнаевых могли быть кочевниками-скотоводами, воинами или охотниками. Фамилия не дворянская и не купеческая — она из народной среды, где прозвища давались по тотему, занятию или характеру. Сравните с фамилиями Бурнаев, Бурнаков, которые встречаются чаще и тоже имеют тюркскую основу (от «бурна» — нос, или «буран» — буря). Бюрнаев — более редкий вариант, возможно, с изменённым произношением или диалектной особенностью.