Фамилия Бывйченков — редкий случай, когда написание вводит в заблуждение. Буква «й» перед «ч» нехарактерна для русских фамилий, и, скорее всего, мы имеем дело с искажением исходной формы. Вероятнее всего, правильный корень — «быв-» или «бывш-», а гласная «й» появилась при записи фамилии в документах из-за особенностей произношения или почерка. Если отбросить эту случайную букву, получим фамилию Бывченков, которая и поддаётся осмысленному разбору.

Основа фамилии — «быв-» или «быва-». В русских говорах слово «быва» означало «быль», «случай», «происшествие», а «бывалый» — опытный, много повидавший человек. Прозвище Быва или Быв могли дать человеку, который любил рассказывать истории, или тому, кто слыл бывалым, искушённым. Суффикс «-енк-» (в форме Бывченко) — украинского или южнорусского происхождения, он уменьшительный или указывает на потомка: Бывченко — «сын или потомок Быва». А окончание «-ов» превращает эту малороссийскую модель в великорусскую фамилию: Бывченков — «из рода Бывченко».

Таким образом, фамилия прошла два этапа: сначала на юге России или Украине образовали отчество Бывченко («чей?» — сын Бывалого), а затем, при переселении носителей в центральные или северные области, фамилию русифицировали, добавив типичное для этих мест окончание «-ов». Встречается и более простой вариант: прозвище Бывченко могло напрямую означать «бывалый человек» (с суффиксом -енк- как в словах «казачонок», «паренёк»), и тогда Бывченков — это уже «принадлежащий Бывченко».

Фамилия редкая, в списках массовых не значится. Её география, скорее всего, связана с Курской, Белгородской или Воронежской областями, откуда шла миграция на восток и север. Если в вашем роду сохранилось произношение с твёрдым «в» (Бывченков, а не Быфченков), это подтверждает южнорусские корни. Единственная неясность — буква «й» в современном написании. Возможно, это описка, закрепившаяся в паспорте, или редкий диалектный вариант, где «ы» перешло в «ый» (как в фамилии Быков — Быйков). Но наиболее правдоподобно, что предок звался Бывченко, а буква «й» — ошибка переписчика.