Фамилия Чэшти — большая редкость, и её происхождение почти наверняка связано с языками тюркской группы. Первое, что бросается в глаза — это необычное для русской ономастики начало на «Чэ». В русском языке эта буква с акутом не встречается в исконных словах, поэтому фамилия явно иноязычная, скорее всего, заимствованная через устную речь или записанная на слух.

Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «чеш» или «чэш» (в разных диалектах), которое может означать «кожура», «шелуха» или, в переносном смысле, нечто незначительное, мелкое. В некоторых тюркских языках «чеш» — это также «кожевник» или «мастер по обработке кожи». Нельзя исключать и вариант, что основа восходит к личному имени Чэш — сокращённой форме от более длинных имён, например, Чэшмир или Чэшбек. Суффикс «-ти» в тюркских языках часто указывает на принадлежность или профессию: Чэшти — «сын Чэша» или «тот, кто имеет отношение к чешу/коже».

Если рассматривать географический контекст, то такие фамилии встречаются у народов Поволжья (татары, башкиры) или у народов Северного Кавказа (кумыки, ногайцы). В русском языковом окружении фамилия могла видоизмениться: первоначальная форма могла звучать как Чешти или Чешты, а ударение могло сместиться на последний слог.

Говорить о дворянском или крестьянском происхождении Чэшти сложно — это, скорее всего, фамилия позднего формирования, которая закрепилась за одной семьёй или родом. В дореволюционных переписях она не фиксируется, что косвенно подтверждает её локальный и, возможно, недавний характер. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в среде тюркоязычных народов, где ремесло кожевника или прозвище по внешнему признаку могло дать начало этому редкому родовому имени.