Фамилия Чевикова — женская форма фамилии Чевиков, и её происхождение стоит искать в прозвище или имени, лёгшем в основу мужского варианта. Словообразовательная модель здесь классическая: суффикс -ов- указывает на принадлежность («чей?» — Чевиков, то есть сын или потомок Чевика). Основа — «Чевик» — скорее всего, прозвище, а не полное христианское имя.

Корень «чев-» в русских говорах имеет несколько значений. Наиболее вероятное — диалектное «чева» или «чёва»: так в некоторых областях называли челюсть, скулу, а иногда и рот. Прозвище Чевик могли дать человеку с крупной или выступающей челюстью, либо тому, кто много и громко говорил. В ономастике такие прозвища по чертам внешности или поведения — одни из самых распространённых.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским словом «чевик» (проворный, быстрый). Если предки носителя фамилии жили в регионах активных русско-тюркских контактов (Поволжье, южные степи), такое прозвище могло прижиться. Однако для фамилии с суффиксом -ов- это редкий случай, и большинство исследователей склоняются к славянской диалектной основе.

Географически фамилия Чевиков встречается нечасто. По данным современных телефонных справочников и архивных выборок, её можно встретить в центральных областях России (Тверская, Ярославская, Московская) и на Урале. Это говорит о том, что фамилия не была массовой и, вероятно, возникла в одном или нескольких локальных родах, а не распространилась из крупного сословного центра.

Интересная деталь: в старых писцовых книгах встречается написание «Чевиков» через «ё» — «Чёвиков». Это не ошибка, а отражение реального произношения в северных и центральных говорах, где «е» под ударением переходило в «ё». Если ваш предок записан как «Чёвиков», это дополнительно подтверждает диалектное происхождение фамилии от слова «чёва» (челюсть).