Фамилия Чиюук — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение точнее, чем звучание. Сочетание «ию» и конечный «ук» сразу выдают украинский или белорусский след. Это не великорусская фамилия: в русском языке фамилии с суффиксом -ук (-юк) встречаются в основном на западе и юго-западе, но форма Чиюук с двойной гласной почти не встречается в стандартных списках. Скорее всего, перед нами вариант написания, возникший при переносе в русскую графику: исходная украинская фамилия могла звучать как Чиюк или Чийук.

Основа фамилии — прозвище «Чий» или «Чия». В украинских говорах «чий» — это чей, чей-то, но вряд ли прозвище давали за неопределённость. Логичнее связь с тюркским корнем «чий» — растение, ковыль или чий (ковыль-волосатик). Степные кочевники и казаки часто получали прозвища по растениям: Чий, Чия. Человек мог быть сухощавым, высоким, с волосами, похожими на ковыль, или просто жить у зарослей чия. Второй вариант — от глагола «чияти» (диал. украинское) — затевать, замышлять, но это менее вероятно.

Суффикс -ук в украинской антропонимии указывает на сына или ученика: Чиюук — буквально «сын Чия» (или «потомок Чия»). Такая модель типична для Правобережной Украины, Волыни и Подолья. Двойное «у» (ук) в конце — скорее всего, опечатка или гиперкоррекция при записи в паспорте, когда хотели подчеркнуть окончание. Встречаются и формы Чиюк, Чиюков, но Чиюук — уникальный орфографический вариант.

Сословно носители фамилии, скорее всего, происходили из крестьян или казаков. Дворянских родов с такой фамилией в Российской империи не зафиксировано. В современных базах Чиюук встречается единично, в основном в России и на Украине, что подтверждает её локальный характер.

Если ваш предок носил фамилию Чиюук, он почти наверняка был выходцем из украинских или белорусских земель, а прозвище предка указывало либо на внешность (степной, сухой как чий), либо на место жительства.