Фамилия Чужигаев — редкая и неочевидная по корню. Сразу бросается в глаза основа «чужиг-», которая не встречается ни в древнерусских именах, ни в распространённых прозвищах. Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от иноязычного личного имени или прозвища, адаптированного в русской среде.

Словообразовательная модель стандартна для русского востока и юга: суффикс -ев присоединён к основе на твёрдый согласный (Чужигай → Чужигаев). Фамилии на -гаев и -каев особенно часты среди тюркских народов Поволжья и Кавказа, а также в казачьих областях. Сама основа «Чужигай» — это, вероятно, фонетическая передача тюркского имени или прозвища. Можно предположить два корня: «чужи» (чуждый, чужой) и «гай» (от тюркского «гай» — крепкий, могучий, или как часть имени, означающая «счастливый», «удачливый»). В таком случае «Чужигай» могло означать «чужой (пришлый) удалец» или быть переосмысленным личным именем.

Менее вероятна, но возможна версия от калмыцкого или монгольского «чужиг» — в некоторых диалектах так называли вид дикого лука или степного растения. Тогда прозвище Чужигай мог получить человек, собиравший или торговавший этим растением. Однако это лишь гипотеза: письменные источники по фамилии Чужигаев крайне скудны.

Географически фамилия привязана к югу России и Северному Кавказу. Самое известное место бытования — станица Червлённая в Чечне (терские казаки). Там Чужигаевы — старинная казачья фамилия. Кроме того, носители встречаются в Астраханской области и Калмыкии, что подтверждает тюрко-монгольский след.

Таким образом, Чужигаев — фамилия-загадка. Основная версия: прозвище от тюркского имени со значением «чужой (пришлый) сильный/счастливый», закрепившееся в казачьей среде. Точное значение исходного имени сегодня восстановить сложно, но ясно, что предки носителя этой фамилии были людьми не коренными для тех мест — пришельцами, которые со временем стали своими.