Фамилия Чужут — редкая, и её корни почти наверняка ведут не в славянскую, а в тюркскую среду. Если отбросить ложные ассоциации с русским словом «чужой», основа здесь скорее всего тюркская: в ряде тюркских языков «чу» или «чуж» может означать «камень», «щебень», «галька» или даже «глина». Соответственно, прозвище Чужут могло возникнуть у человека, жившего на каменистой почве, занимавшегося добычей или обработкой камня, либо получившего такое имя по месту жительства — у реки с каменистым дном.

Фамилия образована по тюркской модели с аффиксом -ут/-ют, который часто указывал на принадлежность к роду или племени, либо на множественное число: буквально «Чужут» — «из рода Чуж», «каменщики» или «те, кто живёт у камней». В русской среде фамилия была адаптирована как неизменяемая, без привычного славянского суффикса -ов/-ев, что тоже говорит о её позднем и нерусском происхождении: такие фамилии чаще всего приносили переселенцы из Поволжья, Приуралья или Сибири, где были сильны тюркские языковые контакты.

Встречается Чужут в единичных записях, в основном на юге России и в Поволжье. В словарях русских фамилий она не описана, что нормально для редких этнических фамилий. Если у вас есть семейное предание о предке-чужеземце, оно может быть как раз отзвуком тюркской основы: «чужой» и «камень» в народной этимологии легко смешиваются.