Фамилия Чвягин образована от прозвища Чвяга. В основе лежит диалектное слово «чвяга» — так в некоторых русских говорах, особенно на юге и западе, называли болотистую, топкую почву, вязкое место. Человек мог получить такое прозвище по месту жительства: если его дом стоял у болота или на сырой низине. Менее вероятно, но возможно и переносное значение — «чвягать» означало чавкать, хлюпать, и прозвище могло закрепиться за тем, кто ходит тяжело, шумно, вязнет в грязи.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Чвягин — сын Чвяги, потомок человека с таким прозвищем. Это типичная модель русских фамилий, распространённая в центральных и северных областях. Встречаются и однокоренные фамилии — Чвягин, Чвяков, Чвялов, но Чвягин — самая частотная из них.

Фамилия редкая, её носители сосредоточены в нескольких регионах. По данным современных справочников, Чвягины чаще всего встречаются в Воронежской, Липецкой и Ростовской областях. Такая география подтверждает связь с южнорусскими говорами, где слово «чвяга» было в ходу. В XIX веке Чвягины упоминаются в документах как крестьяне и мещане, в основном из Курской и Тамбовской губерний.

Никакой связи с дворянскими родами или знатным происхождением у фамилии нет. Это типичное крестьянское прозвище, перешедшее в фамилию в эпоху, когда после отмены крепостного права в 1861 году многие бывшие крепостные получали постоянные фамилии по прозвищам отцов.