Фамилия Данмарк напрямую отсылает к топониму «Danmark» — названию Дании. Это не русская фамилия в привычном понимании, а европейская, и её появление в России связано с иммиграцией, активной в XVIII–XIX веках. В те времена в страну приезжали специалисты, купцы и военные из разных стран, и фамилия нередко закреплялась за теми, кто имел отношение к определённому государству.

Основа фамилии — этноним «даны», германское племя, давшее имя полуострову Ютландия и соседним островам, включая Зеландию и Фюн. Исходное значение фамилии Данмарк — «датчанин» или «выходец из королевства Дания». Скорее всего, первый носитель этой фамилии либо родился в Дании, либо долгое время там жил, а затем перебрался в другую страну, где прозвище по месту происхождения закрепилось как наследственное имя.

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия образована от названия страны без каких-либо суффиксов. Это характерно для многих западноевропейских фамилий, которые в русском языке сохранили исходное написание. В отличие от типичных русских фамилий на -ов или -ин, Данмарк не меняет форму и не адаптируется под местные модели — это указывает на её относительно позднее появление и нерусское происхождение.

Встречается фамилия редко, что неудивительно: она привязана к конкретной исторической ситуации — миграции датчан. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, принадлежал к числу тех европейцев, кто переехал в Российскую империю по приглашению государства или по торговым делам.