Фамилия Дашлыгина — женская форма мужской фамилии Дашлыгин. Её основа неочевидна для современного уха, и это как раз тот случай, когда за простым звучанием может скрываться либо прозвище, либо искажённое заимствование.

Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «дашлык» — так в ряде тюркских языков (например, в крымскотатарском или кумыкском) называли каменистое место, скалу или каменную глыбу. Суффикс -лык вообще характерен для тюркских прилагательных и существительных, обозначающих свойство или место. Соответственно, прозвище Дашлык могли дать человеку, жившему у скал, на каменистой почве, или же обладавшему твёрдым, «каменным» характером. Русский суффикс -ин превратил это прозвище в фамилию: «чей?» — Дашлыгин, то есть сын или потомок Дашлыка.

Менее вероятна, но возможна версия от русского диалектного слова «дашлый» или «дашной» — в некоторых говорах так называли бойкого, расторопного или даже дерзкого человека. Однако эта гипотеза слабее, так как слово «дашлый» встречается редко и в основном в северных говорах, а фамилия Дашлыгин имеет явные следы тюркского влияния.

Фамилия редкая, и её география, скорее всего, привязана к южным регионам России или Поволжью, где исторически были сильны тюркские контакты — например, в Астраханской области или на Северном Кавказе. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в местах, где русское население соседствовало с тюркским.

В написании фамилии обращает на себя внимание «г» в суффиксе. В исходном слове «Дашлык» конечный звук [к] при склонении и добавлении суффикса -ин по законам русской фонетики чередуется с [г] — так же, как «кулак» даёт «Кулагин». Поэтому форма «Дашлыгин» абсолютно закономерна, а не является ошибкой.