Фамилия Даюк — одна из тех, что образованы напрямую от имени или прозвища, без привычных русских суффиксов -ов и -ин. В её основе лежит украинское или белорусское имя Дай (Даю), которое, скорее всего, является уменьшительной формой от крестильного имени Давид. В народной среде имя Давид часто сокращали до Давко, Дацко, а в некоторых говорах — до Дай. Отсюда и пошла фамилия: к основе Дай- добавили типичный для западнорусских земель патронимический суффикс -юк, который означает «сын» или «потомок». Таким образом, Даюк — это буквально «сын Дая», то есть сын Давида.

Версия с прозвищем тоже имеет право на существование, хотя она менее распространена. В южных и западных говорах глагол «даять» или «дайкать» мог означать «просить подаяние», «канючить». Если человека так прозвали, то фамилия могла отражать его привычку или род занятий. Однако ономастика склоняется к первой версии: в массе фамилий на -юк, -ук (Матвиюк, Гаврилюк, Степанюк) почти всегда лежит имя, а не прозвище, если только прозвище не было совсем уж ярким.

Географически фамилия Даюк тяготеет к западу Украины — Волынь, Подолье, а также к югу Беларуси. Это зона активного бытования фамилий на -юк, которые там заменяли великорусские -ов и -ев. В России фамилия редкая, встречается в основном на юге и в центральных областях, куда её занесли переселенцы XIX века.

Интересная деталь: фамилия Даюк не меняет своего окончания при склонении по падежам (как и все фамилии на -юк). В паспорте она закрепилась в мужском роде, но у женщин не склоняется: Иван Даюк, Мария Даюк, у Ивана Даюка, с Марией Даюк. Это отличает её от фамилий на -ов, которые меняются по падежам у обоих полов.

По сословному составу предки Даюков — почти наверняка крестьяне или мещане. Дворянских родов с такой фамилией в официальных родословных книгах Российской империи не зафиксировано. Фамилия осталась в народной среде, где имена редко закреплялись в документах через суффиксы -ов, а чаще — через местные, более короткие формы.