Фамилия Дебискаева звучит необычно для русского уха, и это первый ключ к её разгадке. Она явно тюркского происхождения, и её основа, скорее всего, связана с кавказским регионом, в частности с кумыкским или ногайским языками. В отличие от распространённых русских фамилий на -ов или -ин, суффикс -ев здесь указывает на притяжательное значение («чей?»), но образован он не от славянского, а от тюркского имени или прозвища.

Сам корень «Дебискай» (или «Дебискей») можно разобрать на две части. Первая часть, «деби», восходит к тюркскому слову «тебе» (верблюд) или к кумыкскому «дев» (богатырь, гигант) — в зависимости от диалекта и исторического произношения. Вторая часть, «скай» или «скей», вероятно, является вариантом суффикса -лы/-ли, который в тюркских языках указывает на обладание чем-то. Таким образом, «Дебискай» могло означать «имеющий верблюда» (то есть владелец скота) или «богатырский», «сильный как див». Встречаются и более прозаичные версии: в кумыкском языке есть слово «тебискей» — так называли человека с крупными, оттопыренными ушами (от «тебис» — ухо). Прозвище могло закрепиться за родоначальником по характерной внешности.

Исторически фамилия могла появиться в среде кумыкских князей или узденей (свободных крестьян) на территории современного Дагестана или Чечни. В русских документах XIX века, при переписях и составлении метрических книг, тюркские имена и прозвища часто записывались на слух, поэтому возможны варианты написания: Дебискаев, Дебискеев, Тебискей. Окончание -а в женском роде (Дебискаева) — это уже чисто русская грамматическая норма, закрепившаяся в паспортной системе.

С точки зрения социального контекста, фамилия не относится к числу дворянских в классическом российском понимании, но её носители в прошлом могли принадлежать к воинскому сословию или зажиточным крестьянам. Встречается она крайне редко, в основном среди кумыков и ногайцев. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, был выходцем из равнинного Дагестана или Ставрополья, где кочевое и полукочевое скотоводство было основой хозяйства. Единой версии происхождения нет, но связь с внешностью или родом занятий (скотоводство) — наиболее правдоподобное объяснение.