Фамилия Дилбандян — армянская по происхождению, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса: -ян (в старой орфографии -янц) — один из самых распространённых патронимических показателей в армянской ономастике. Он означает принадлежность к роду, происхождение от предка: буквально «из семьи такого-то». В русском языке такие фамилии закрепились в форме на -ян/-ов, и Дилбандян — типичный пример.

Основа фамилии — «Дилбанд». Здесь возможны два пересекающихся пути, и оба ведут к прозвищу или профессии. Первый: от армянского «дил» (сердце, душа) и «банд» (связь, узы). Вместе это может означать «сердечный», «душевный», «тот, кто связывает сердца» — возможно, прозвище свата, посредника или просто доброго человека. Второй, более практичный: «дилбанд» как искажённое или диалектное «дилбанд» в значении «изготовитель или продавец дилба» — особого вида шёлка или ткани (слово тюркского происхождения, проникшее в армянские говоры). В таком случае предок носителя фамилии мог быть ткачом, красильщиком или купцом, торговавшим шёлком.

Спор между «сердечным» и «шёлковым» значением — классический случай, когда ономастика упирается в диалектную лексику. В пользу второй версии говорит то, что в армянских фамилиях от названий ремёсел и товаров встречаются часто, а прозвища по душевным качествам — реже, и они обычно даются не в форме сложного слова. Правдоподобнее, что Дилбандян — это «сын торговца дилбом» или «сын ткача», а не «сын сердечного».

Фамилия редкая и практически не встречается за пределами армянской диаспоры. По географии бытования — типична для восточноармянских земель (исторический Айрарат, современная Армения, отчасти Нагорный Карабах), где суффикс -ян — основной способ образования фамилий. В отличие от западноармянских фамилий, которые часто оканчиваются на -янц, форма Дилбандян — восточный вариант, утвердившийся в Российской империи и СССР при русификации документов.

В итоге: Дилбандян — это армянская патронимическая фамилия, указывающая на предка, которого звали или прозвали Дилбанд. Скорее всего, он занимался изготовлением или продажей шёлка.