Фамилия Дижимесова — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской этимологии. Если отбросить вариант, что перед нами искажённое при переписи Димитрова или Демешева (а такие искажения в XIX веке случались сплошь и рядом), то самый вероятный корень — тюркский или кавказский. В языках тюркской группы есть основа «дижи» или «тежи», связанная с понятием «касаться», «трогать», а «мес» может восходить к «меш» — «овца», «баран» (ср. карачаево-балкарское «мес» — ягнёнок). Тогда прозвище Дижимес могло означать «тот, кто трогает овец» — чабан, пастух, либо, в переносном смысле, человек, который «не даёт покоя скотине», то есть работящий, хлопотливый хозяин.

Суффикс -ов- типичен для русской фамильной модели, но в паре с окончанием -а (Дижимесова) указывает на женскую форму от мужской Дижимесов. Такие фамилии обычно закреплялись за женщинами в официальных документах, когда мужчина был главой семьи, а запись делали на вдову или дочь. Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и Нижнему Поволжью — регионам, где веками смешивались русские, тюркские и кавказские говоры. Если ваш предок нёс фамилию Дижимесов, он мог быть крестьянином-скотоводом или казаком из станиц, где пришлое население перенимало местные прозвища.

Вторая, менее вероятная версия — связь с греческим словом «дижимес» (δήγημα — рассказ, повествование). Но для фамилии, бытовавшей в среде простых людей, такой книжный корень почти невозможен: греческие заимствования в русских фамилиях встречаются только у священников или выпускников семинарий, и обычно они оформлены суффиксами -ский/-цкий. Здесь суффикс -ов, а значит, основа была прозвищной, уличной.

Фамилия не попала в массовые справочники Унбегауна или Никонова — её нет в списках типовых русских фамилий. Это говорит о крайне локальном бытовании: возможно, она сохранилась лишь в одном-двух родах. Для носителя фамилии Дижимесова это значит, что её история упирается в конкретную семью, а не в широкий слой крестьянства. Если в семье сохранились предания о том, что предки пасли скот или жили на границе с кочевниками, версия с тюркским корнем становится почти бесспорной. Если же никаких легенд нет, стоит проверить метрические книги по Ставрополью или Астраханской губернии — там, скорее всего, и обнаружится первое упоминание.