Фамилия Доноиский — редкая и неоднозначная с точки зрения происхождения. Её форма с суффиксом -ск- указывает на то, что она образована по польской, украинской, белорусской или дворянской русской модели от географического названия. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые обычно означают принадлежность отцу (чей?), фамилии на -ский/-цкий закрепляли за человеком связь с местностью: «тот, кто родом из такого-то места».

Самая прямая версия — происхождение от топонима Доноиск или Доноево. Таких пунктов на карте Восточной Европы сегодня нет, но они могли существовать как небольшие хутора или урочища. Корень «Дон-» здесь очевиден: это название великой реки. В таком случае фамилия указывает на предка, который жил на Дону или переселился оттуда. Однако форма «Доноиский» (а не «Донской») говорит о более сложном пути: возможно, название поселения звучало как «Донои» (сравните с фамилиями Бородинский, Гороиский), а жителя звали «доноиский».

Вторая, менее вероятная версия — искусственное происхождение. В XVIII–XIX веках семинаристы при поступлении в духовные училища нередко получали «благозвучные» фамилии, образованные от названий рек и городов. «Доноиский» могло быть калькой с греческого или латыни, придуманной для ученика, родом из донских земель. Сравните с фамилиями Аманацкий (от Аманака) или Иорданский.

Стоит учесть и возможную описку или вариант написания. В старых документах фамилия могла фиксироваться как Доноеский, Доноевский или Доноицкий — все эти формы родственны и различаются лишь суффиксами. Если ваши предки записаны как Доноиские, стоит проверить, не встречается ли в метрических книгах вариант «Донский» — это могла быть та же семья, чью фамилию «украинизировал» писарь.

Сословная принадлежность носителей фамилии, скорее всего, была неоднородной. В центральных губерниях России фамилии на -ский часто носили дворяне и духовенство, но на юге (Курская, Воронежская, Харьковская губернии) такую форму получали и крестьяне, переселившиеся с другого места. Поскольку корень явно связан с Доном, логичнее всего искать корни фамилии в казачьих областях или среди однодворцев — потомков служилых людей на южной границе.