Фамилия Досонцева — женская форма, а её основа мужская — Досонцев. Редкая русская фамилия, которая почти не встречается в официальных списках распространённых фамилий России. Её происхождение неочевидно на первый взгляд, и здесь есть над чем поработать этимологу.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — Досонцев). Основа — Досонец. Это либо прозвище, либо усечённая форма от какого-то имени. Сразу отбрасываем версию о связи с английской фамилией Dawson (Доусон) — это искусственное и маловероятное объяснение для русского быта.

Самая правдоподобная версия: Досонцев — это вариант фамилии Досаев или Досоев, образованной от имени Досой. В старых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, бытовало личное имя Досой (сокращение от Дорофей, Досифей или даже от имени святого Досифея). Суффикс -ец (в основе Досонец) мог появиться как уменьшительная форма: Досой → Досонец (маленький Досой, сын Досоя). Тогда фамилия Досонцев буквально означала «сын Досонца», то есть потомок человека по прозвищу Досонец.

Вторая, менее вероятная, но не исключённая гипотеза: связь с диалектным словом «досон» — так в некоторых областях называли соню, любителя поспать. Прозвище Досон — человек сонный или медлительный. Прибавив суффикс -ец, получаем Досонец — «тот, кто ведёт себя как досон». Но эта версия слабее, потому что основа «досон» в русских говорах фиксируется редко, а имя Досой — чаще.

Географически фамилия Досонцев (и Досонцева) тяготеет к старообрядческим регионам: Забайкалье, Алтай, реже встречается в Архангельской области. Это совпадает с версией о происхождении от канонического имени Досифей (в народном произношении Досой), которое было популярно именно среди староверов.

Итог: скорее всего, предок носителя фамилии Досонцев носил имя Досой, а его сына называли Досонцом. Фамилия закрепилась как отчество, и со временем ударение сместилось на второй слог (Досо́нцев), хотя в говорах могло звучать и как До́сонцев.