Фамилия Досшанова — женская форма, а её основа, мужская фамилия Досшанов, восходит к тюркскому составному имени Досшан. Разберём это имя по частям: «дос» в казахском и других тюркских языках означает «друг», «товарищ», а «шан» — вариант имени Шан, которое может восходить к арабскому «шан» (сан, достоинство, положение). Таким образом, Досшан — это «друг чести» или «товарищ, обладающий высоким положением». Встречается и другая трактовка: «шан» как часть имени может быть сокращением от «шандык» (радость), тогда имя приобретает оттенок «радостный друг».

Фамилия образована по типичной для тюркских народов модели: к основе имени прибавили русский патронимический суффикс -ов (в женском роде — -а). Это произошло в XIX–XX веках, когда при документальном оформлении фамилий у казахов и других народов Центральной Азии к тюркским именам механически добавляли русские окончания. Поэтому Досшанова — это не исконно русская фамилия, а русифицированная форма отчества или родового имени.

Географически фамилия Досшанова встречается преимущественно в Казахстане, особенно в южных и западных областях, где распространены тюркские имена с корнем «дос». В России она редка и встречается в основном в регионах с казахскими диаспорами — Астраханской, Оренбургской областях.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Досов, Досжанов, Досмухамбетов) показывает, что основа «дос» была популярна в именах, подчёркивающих дружеские и социальные качества. Фамилия Досшанова выделяется среди них редким вторым компонентом «шан», что делает её этимологию менее прозрачной для неспециалиста, но более ценной для ономастики. Если ваш предок носил имя Досшан, он, скорее всего, был человеком, которого в окружении ценили за верность и уважали за положение в общине.