Фамилия Достман — редкий для России случай, когда немецкая основа почти не замаскирована русским окончанием. В отличие от большинства фамилий немецкого происхождения, которые обрусели через суффиксы -ов или -ин (например, Фогель → Фогельман → Фогелев), Достман сохранил исходный суффикс -ман, что указывает на сравнительно позднее появление в русскоязычной среде, скорее всего в XVIII–XIX веках.

Корень фамилии восходит к немецкому слову Dost — так в Германии называли чабрец (тимьян) или, в некоторых диалектах, букет душистых трав. Вторая часть -mann переводится как «человек». Таким образом, исходное прозвище или профессия предка — «травник», «человек, торгующий или собирающий душистые растения». Встречается и более прозаичная версия: в некоторых регионах Германии Dost означало «пучок», «связка», так что Достманом могли называть того, кто вязал снопы или связывал товар.

С географической точки зрения фамилия тяготеет к Поволжью. Немецкие колонисты, приглашённые Екатериной II, селились компактно, и фамилии с компонентом -mann были там обычным явлением. В метрических книгах саратовских и самарских губерний Достманы встречаются с первой половины XIX века. Позже часть носителей переселилась в Сибирь и Казахстан во время столыпинской аграрной реформы и депортаций 1941 года.

Интересная деталь: в немецком написании фамилия могла выглядеть как Dostmann (с двумя n), но в русских документах удвоение почти всегда терялось. Это типичный признак канцелярской записи «на слух» — чиновник записывал фамилию так, как слышал, без учёта немецкой орфографии. Поэтому варианты Достман, Достманн и даже Тостман (из-за неразличения глухих и звонких в южнорусских говорах) можно считать одной и той же фамилией.

В отличие от более распространённых немецких фамилий вроде Шмидт или Мюллер, Достман не имеет однозначного аналога среди русских ремёсел. Собирателей трав на Руси называли травниками или зелейщиками, но фамилия Травников встречается реже, чем можно было бы ожидать. Так что Достман — это скорее точный пережиток диалектного немецкого слова, нежели калька с русского.