Фамилия Дремченко звучит на слух как типичная украинская, и это первое, что бросается в глаза: суффикс -енко указывает на происхождение с территории современной Украины, где такие фамилии в XVII–XVIII веках означали «сын» или «потомок» человека, названного в основе. В данном случае основа — Дремко, а это, в свою очередь, уменьшительная форма от прозвища или имени Дрема.

Корень здесь — «дрем-», связанный с глаголом «дремать». Прозвище Дрема в старину давали человеку медлительному, сонливому, задумчивому или тому, кто часто ходил с полузакрытыми глазами. В русских говорах «дрёма» — это не только состояние полусна, но и растение (сон-трава), а также, по некоторым диалектным данным, вялый, нерасторопный человек. Так что первый носитель прозвища Дрема, скорее всего, получил его за свой характер или внешность — не злой умысел, а бытовая наблюдательность.

Есть и менее очевидная версия: в некоторых регионах «дремой» называли тихого, скромного человека, который любил уединение. Тогда фамилия несла не отрицательный, а скорее описательный оттенок. В любом случае, от прозвища Дрема образовалась форма Дремко (с типичным украинским суффиксом -ко, придающим уменьшительность), а от неё — фамилия Дремченко, то есть «сын Дремка».

В написании фамилии стоит обратить внимание на букву «е» после «р»: ударение, как правило, падает на второй слог — Дремче́нко. Это отличает её от возможного варианта Дрёмченко (с «ё»), который встречается реже и может указывать на иное диалектное произношение. Географически фамилия распространена в центральных и восточных областях Украины, а также в пограничных регионах России — на Кубани и в Ростовской области, куда переселялись украинские крестьяне.

Социальный контекст прост: Дремченко — фамилия крестьянская, без дворянских корней. В реестрах казацких полков она не встречается, что говорит о её позднем закреплении, уже после отмены крепостного права, когда фамилии массово фиксировались в метрических книгах. Сравните с родственными фамилиями: Дремин (русская, на -ин), Дремов (на -ов), Дремлюга (с суффиксом -юга) — все они от той же основы, но Дремченко остаётся самой «южной» по модели.