Фамилия Дремеженко образована о прозвища Дремежа, которое восходит к нарицательному «дрема»: так в старину называли легкий, неглубокий сон, состояние сонливости. Даля зафиксированы однокоренные слова: «дремала», «дремалка», «дремуша» - «склонный к дремоте, сонливый», «соня, вялый». Так и прозвище Дремежа закрепилось за человеком в качестве наиболее употребительного именования, а со временем легло в основу фамилии Дремеженко.