Фамилия Дремеженко образована от прозвища Дремежа. В его основе — нарицательное «дрема», которым в старину называли неглубокий сон, полусонное состояние. В словаре Владимира Даля зафиксированы однокоренные слова: «дремала», «дремалка», «дремуша» — все они описывают человека, склонного к дремоте, сонливого, вялого. Так и прозвище Дремежа закрепилось за человеком в качестве наиболее употребительного именования.

Однако не стоит думать, что предок носителя этой фамилии обязательно был соней. Прозвища часто давали с иронией, «от противного», или же закрепляли за человеком по какой-то внешней черте — например, за привычку щуриться, медлительность или задумчивый вид. «Дремать» в говорах могло означать и «быть в раздумье», «мечтать», так что прозвище могло относиться к человеку задумчивому, несуетливому.

Словообразовательная модель фамилии — украинская. Суффикс -енко (вместо восточнославянского -ов/-ев) указывает на происхождение с территории современной Украины или южнорусских земель, где этот патронимический суффикс был особенно распространён. Первоначально Дремеженко означало «сын Дремежи» или «потомок Дремежи». Сама фамилия редкая, её основа не встречается среди массовых прозвищ, что говорит о локальном бытовании — скорее всего, она возникла в одном или нескольких соседних сёлах и закрепилась за одним родом.

Среди однокоренных фамилий — Дрема, Дремов, Дремин, Дремач, Дремалов. Все они образованы от того же корня, но с помощью разных суффиксов, что разводит их по разным регионам и временным пластам. Фамилия Дремеженко стоит в этом ряду особняком благодаря украинскому суффиксу, который указывает на более позднюю фиксацию фамилии (XVI–XVII века).

Написание фамилии могло варьироваться: в старых документах встречаются варианты Дремеженко, Дремежонко, Дремеженков. Последний вариант — результат русификации фамилии на русской почве, когда к украинской основе добавили русский суффикс -ов. Однако основная форма осталась неизменной и сегодня однозначно указывает на происхождение фамилии из южнорусского или украинского говора.