Фамилия Дринченко почти наверняка украинская по происхождению. На это указывает суффикс -енко, который в XVI–XVII веках закрепился в Поднепровье и на Левобережной Украине как основной способ образования фамилий со значением «сын» или «потомок». Носитель такой фамилии — Дринченко — буквально «сын Дринка» или «человек из рода Дринка».

Основа фамилии — личное имя или прозвище Дринко. Здесь есть два основных пути. Первый: Дринко может быть простонародной, усечённой формой крестильного имени Андрей. В украинской традиции Андрей часто превращался в Ондрий, а затем в уменьшительные Дринко или Дринь. В таком случае фамилия означает «потомок Андрея». Второй путь: прозвище Дринко могли дать человеку с особенной походкой или манерой говорить — от диалектного глагола «дри́нкати» (ходить, прихрамывая, или издавать дребезжащий звук). В украинских говорах встречается и слово «дринькати» — бренчать на струнном инструменте или звонить в колокольчик. Тогда прозвище могло закрепиться за музыкантом или звонарём.

Версия с крестильным именем выглядит более массовой и естественной: в украинской антропонимии множество фамилий на -енко образованы от сокращённых форм календарных имён (Тимошенко от Тимош, Даниленко от Данило). Прозвищная версия возможна, но менее типична для такой модели.

Встречается эта фамилия в основном в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков переселенцев на Кубани и в Ставрополье. В России она редка и почти всегда указывает на украинские корни. Вариант написания с «и» — Дринченко — основной, хотя в старых метрических книгах могла писаться через «ы» (Дрынченко) под влиянием местного произношения. Никакого отношения к слову «дрын» (дубина) фамилия, скорее всего, не имеет — это случайное созвучие, которое вводит в заблуждение.