Фамилия Дробященко — яркий пример украинской модели образования фамилий на -енко. В украинской ономастике суффикс -енко (а в русской передаче часто -енко) был одним из самых продуктивных в XVII–XVIII веках. Первоначально он имел значение «маленький», «сын такого-то» или «ученик мастера», а со временем закрепился как наследственная фамилия. Дробященко буквально означает «сын или потомок Дробящего».

Основа фамилии — прозвище Дробящий. В его основе лежит глагол «дробить». На первый взгляд, это указывает на занятие предка: дробление камня (каменолом), зерна (мельник), руды или металла. Человек с таким прозвищем мог быть подручным на мельнице, кузнецом-дробильщиком или рабочим на толчее (устройстве для измельчения руды). Однако в южнорусских и украинских говорах слово «дробить» имело и переносное значение: «говорить быстро и сбивчиво», «часто и мелко шагать» или «суетиться». Прозвище могли дать не только ремесленнику, но и суетливому, торопливому человеку или тому, кто тараторил без умолку.

Географически фамилия Дробященко тяготеет к левобережной Украине и южным областям России, куда шла миграция украинских крестьян в XVIII–XIX веках. Встречается она в основном в Черниговской, Полтавской, Сумской областях, а также в Краснодарском крае и Ростовской области. Это типичная фамилия казацкого или крестьянского сословия, не имевшая дворянского статуса.

Любопытно, что фамилия сохранила архаичную форму причастия «дробящий» (от глагола «дробити»), а не более привычное в русском языке «дробильщик» или «Дробот». Это указывает на то, что прозвище возникло в среде, где активно использовался украинский язык, а окончание -енко закрепило его в фамилии. Встречаются также однокоренные варианты Дробященко, Дробяжко и Дробяга, но форма на -енко — самая распространённая и точно указывающая на украинское происхождение рода. Никаких известных дворянских родов или знаменитых исторических личностей с такой фамилией не зафиксировано, что подтверждает её народное, ремесленное происхождение.