Фамилия Дробязченко — типичный пример восточнославянской модели, где суффикс -енко указывает на происхождение: буквально «сын» или «потомок» человека по прозвищу Дробяз. Такая патронимическая форма особенно характерна для украинских земель, где фамилии на -енко (а также -ко) стали массово закрепляться в XVI–XVII веках. Поэтому географический центр бытования фамилии — скорее всего, современная Украина и южные регионы России.

Прозвище Дробяз, лёгшее в основу, имеет как минимум два объяснения.

Первое связывает его с белорусским словом дробязь — «мелочь, пустячок, безделица». В таком случае прозвище носило ироничный или описательный характер: Дробязом могли назвать человека невысокого роста («мелкого»), а также легкомысленного, несерьёзного, того, кто «мелочится». В народной среде прозвища по внешним или поведенческим чертам были привычным способом выделить человека.

Вторая версия отсылает к украинскому слову дробята — «овцы». Если это так, то прозвище Дробяз изначально было профессиональным: так могли прозвать пастуха, человека, который пас овец. Эта версия менее распространённая, но вполне правдоподобна, учитывая, что скотоводство было важной частью хозяйства на юге Руси.

Интересно, что суффикс -язь в прозвище встречается реже, чем более привычные -ец или -ак, что делает фамилию Дробязченко заметной на фоне однокоренных. Сравните с более простыми образованиями вроде Дробот, Дробин или Дробов — все они восходят к тому же корню дроб- (мелкий, раздробленный), но форма Дробязченко сохранила редкую диалектную основу.

Первоначально прозвище Дробяз полностью заменило личное имя в быту и документах, а затем к нему присоединился суффикс -енко, окончательно закрепив фамилию в роду.