Фамилия Джаыге — один из тех редких случаев, когда написание подсказывает произношение точнее, чем привычная кириллица. В ней нет ни одного гласного в русском понимании: буква «ы» здесь передаёт не твёрдый гласный звук, а редуцированный гласный или даже гласный-связку, характерный для тюркских языков. Сама структура — корень без суффикса — сразу выдает нерусское происхождение: в славянских фамилиях почти всегда есть формант (-ов, -ин, -ский), а здесь мы видим чистую основу.

Скорее всего, фамилия Джаыге восходит к тюркской лексике, вероятно, к карачаево-балкарскому, кумыкскому или ногайскому языкам. Корень «джа» или «джай» может быть связан с тюркским «жай» — лето, летний, или с «джау» — враг, неприятель. Второй элемент «ыге» — это, возможно, аффикс принадлежности или часть сложного слова, означающая «его/её». Таким образом, Джаыге могло быть прозвищем со значением «его лето» (например, человек, родившийся летом, или связанный с летним пастбищем) либо «его враг» (воин, противник).

Географически фамилия, вероятно, локализована на Северном Кавказе — в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии или в Дагестане. Встречается она крайне редко, что говорит либо о недавнем возникновении (например, как вариант записи при паспортизации в XX веке), либо о принадлежности к малому роду. В русских дореволюционных метриках и переписях такая фамилия вряд ли фиксировалась из-за неудобной для кириллицы фонетики.

Примечательно, что в фамилии нет ни одного русского суффикса — это так называемая «голая» основа, которая в тюркских языках может быть и фамилией, и именем. Для сравнения: у карачаевцев есть фамилии Джаубаев (от «джау» — враг) или Джайчиев (от «жай» — лето, пастбище). Джаыге могло быть их сокращённой или диалектной формой, либо самостоятельным прозвищем, которое позже закрепилось как родовая фамилия.