Фамилия Эгунов — редкий пример, где исходное слово почти стёрлось, а суффикс подсказывает век образования. На первый взгляд фамилия кажется «неудобной» для русского уха: начинается на Э, а не на Е. Но это как раз и есть ключ. В старых документах, особенно в южнорусских и донских записях, букву Э писали там, где сейчас пишут Е: «Эгунов» — это фонетический вариант фамилии Егунов.

Основа — Егун. Это не полное имя, а производная форма от канонического имени Егор (греч. Георгий — земледелец). В русской народной среде Георгия переделали в Егора, а от него пошли ласкательные и обиходные варианты: Егуня, Егун. Суффикс -ун в разговорных именах встречается часто: говорун, бегун, а в личных именах — Лаврун (от Лавр), Мишун. Егун — это «маленький Егор» или просто Егорий-батюшка в бытовом обращении. Суффикс -ов стандартно указывает на принадлежность: «сын Егуна».

Географически фамилия Эгунов тяготеет к Ростовской области и Краснодарскому краю, а также встречается у донских казаков. Казаки часто сохраняли архаичное написание с «Э» в фамилиях, которые в центральной России писали бы через «Е». Второй, менее вероятный, вариант происхождения — от тюркского прозвища: «эгун» в некоторых тюркских диалектах означает «ленивый», «медлительный». Но для русской фамилии это нетипично: суффикс -ов крепко привязан к славянской модели «чей?». Версия с Егором выглядит убедительнее.

Сословной привязки у фамилии нет: Егуновы могли быть и крестьянами, и казаками, и мещанами. В списках однодворцев (государственных крестьян южных губерний) фамилия встречается с XVII века. Если ваш предок — Эгунов, скорее всего, его звали Егором, а в обиходе — Егуней, и фамилия закрепилась не в канцелярском, а в живом произношении.