Фамилия Екауе — редкая и неочевидная для русского уха. Она не вписывается в привычные модели на -ов, -ин или -ский, и её происхождение почти наверняка не славянское, а иноязычное. Скорее всего, перед нами фамилия, попавшая в русский контекст из языков народов Кавказа или Поволжья, где встречаются похожие фонетические конструкции.

Наиболее правдоподобная версия связывает Екауе с адыгскими (черкесскими) или абхазо-адыгскими языками. В них распространены фамилии, оканчивающиеся на -уа, -е, -ауе. Элемент «ека» может восходить к личному имени или прозвищу, а окончание — к патронимическому суффиксу, указывающему на принадлежность к роду. Например, в адыгейском суффикс -уе часто обозначает «сын такого-то» или «из рода такого-то». Таким образом, Екауе могло означать «потомок Ека» (где Ека — сокращение от Екатерина, Еким или местное имя). Встречается и вариант, что основа связана с тюркским «ека» — «старший брат» или «предок», что тоже логично для прозвищного происхождения.

Географически фамилия Екауе тяготеет к регионам Северного Кавказа, особенно к Адыгее, Кабардино-Балкарии и Краснодарскому краю. В дореволюционных метрических книгах и переписях она почти не фиксируется, что подтверждает её позднее вхождение в русскую официальную антропонимию — скорее всего, в советское время, при паспортизации. Носители фамилии могли быть горцами, военными или крестьянами, получившими фамилию по имени предка.

Словообразовательно фамилия не имеет русского суффикса. Окончание -е — это не флексия, а часть основы, поэтому фамилия не склоняется по падежам в русском языке (Екауе, Екауе, с Екауе). Это дополнительный признак её иноязычного корня. Если сравнивать с однокоренными, то можно предположить родство с фамилиями Екау, Екаев, но последняя уже русифицирована суффиксом -ев.

Вторая, менее вероятная версия — что Екауе является вариантом немецкой или прибалтийской фамилии (например, Eckaue или Jekau), но для неё нет убедительных исторических свидетельств. Кавказское происхождение выглядит гораздо обоснованнее.

Таким образом, фамилия Екауе — скорее всего, адыгская или абхазская по корням, образованная от личного имени с патронимическим окончанием. Предки носителя могли быть выходцами с Северного Кавказа, а сама фамилия закрепилась в русском обиходе относительно недавно, сохранив своё первоначальное звучание.