Фамилия Экшиян — редкий случай для русского ономастикона: она не славянская по происхождению, а армянская, но при этом имеет тюркскую основу. Это сразу даёт ключ к пониманию её истории. Окончание -ян (в старой орфографии — -янц) — типичный армянский патронимический суффикс, означающий «из рода такого-то» или «принадлежащий». То есть Экшиян — это потомок человека по имени или прозвищу Экши.

Основа «Экши» восходит к тюркскому слову ekşi — «кислый». В тюркских языках это не только вкус, но и прозвище: так могли назвать человека с кислым, угрюмым выражением лица, ворчливого или неулыбчивого. Встречается и в значении «терпкий», «резкий на язык». Тюркские заимствования в армянском языке — обычное дело из-за многовекового соседства и проживания в составе Османской империи. Поэтому носитель фамилии Экшиян — армянин, чей предок получил тюркское прозвище, которое затем закрепилось как фамилия.

Словообразовательная модель проста: тюркское прозвище + армянский фамильный суффикс. В русском языке фамилия закрепилась без изменений, с окончанием -ян, которое не склоняется по падежам в мужском роде (Экшиян, Экшияну, Экшияном), а в женском остаётся неизменным. Подобных фамилий много: Шахназарян (от персидско-тюркского «шах»), Ташчян (от тюркского «каменщик»), Карапетян (от армянского имени, но через тюркское посредство).

Географически фамилия тяготеет к регионам, где армяне жили в тесном контакте с тюркским населением: историческая Западная Армения (ныне восток Турции), а также Нагорный Карабах и Зангезур. После переселения армян в Российскую империю в XIX веке фамилия распространилась по югу России, Краснодарскому краю, Ростовской области, Ставрополью.

Спорных версий здесь почти нет: тюркское происхождение основы надёжно подтверждается словарями, а армянский суффикс очевиден. Иногда можно встретить попытку связать «Экши» с греческим или персидским, но это натяжка — тюркское ekşi хорошо документировано и входит в десятки тюркских фамилий (Экши, Экшиоглу). Так что ваш предок, скорее всего, был человеком с нелёгким характером или, наоборот, получил прозвище в насмешку — за то, что любил кислое.