Фамилия Екутсиа — редкий случай, когда написание почти полностью выдаёт её происхождение. Характерное окончание «-иа» и отсутствие типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский) сразу указывают на то, что перед нами фамилия, пришедшая из грузинского языка. В грузинских фамилиях часто встречаются окончания «-иа», «-ия», «-швили», «-дзе». Екутсиа, скорее всего, образована по той же модели, что и, например, Гуриа или Чочиа.

Основа «Екутс» — это не русское слово и не каноническое имя. Вероятнее всего, в её основе лежит грузинское имя или прозвище Екутс (или близкое к нему по звучанию). В грузинской ономастике распространены имена, образованные от названий растений, животных или черт характера, но точное значение слова «екутс» без специальных диалектных словарей установить сложно. Можно предположить, что это вариант имени Екути, уменьшительной формы от какого-либо полного имени (например, от Еквтиме — грузинский аналог Евфимия). Суффикс «-иа» в таких фамилиях часто выполняет роль притяжательности, то есть Екутсиа — «принадлежащий Екутсу» или «из рода Екутса».

Важно отметить, что фамилия с таким окончанием почти не встречается в центральной России, где преобладают фамилии на -ов. Её география бытования должна быть привязана к Грузии, особенно к её западным регионам, где окончание «-иа» встречается чаще, чем в восточных. Если носитель фамилии живёт в России, это, скорее всего, потомок грузин, переселившихся в XIX-XX веках, или человек, чьи предки были из грузинского дворянства или крестьянства.

Спорных версий здесь немного. Связывать фамилию с каким-либо русским корнем бессмысленно — это заведомо ошибочный путь, так как звуковой состав «екутс» не имеет параллелей в славянских языках. Единственное, что можно добавить: в некоторых случаях грузинские фамилии на «-иа» могли русифицироваться, добавляя окончание «-ов» (например, Екутсиев), но исходная форма, которую вы ищете, сохранила свой первоначальный, нерусский облик.