Фамилия Эльдгаев — одна из тех, что сразу выдают кавказское происхождение. Её основа, суффикс и география бытования указывают на чеченские корни, хотя точное значение исходного слова вызывает споры.

Словообразовательная модель типична для тюркских и кавказских фамилий, русифицированных через суффикс -ев. В русской традиции фамилии на -ев образуются от основ, оканчивающихся на согласный или мягкий знак. Здесь основа — «Эльдга», к которой добавили русский патронимический суффикс. Скорее всего, фамилия происходит от личного имени Эльдга (или Эльда), которое в чеченском языке может быть вариантом имени Эльдар (тюркского происхождения, означающего «властелин страны»). В чеченском имя Эльдга — распространённая форма, с усечением конечного «р» и смягчением. Тогда Эльдгаев означает «потомок Эльдги».

Вторая версия, менее популярная, связывает фамилию с чеченским словом «эльд» — «народ» или «племя». В этом случае Эльдгаев могло означать «принадлежащий к народу» или «выходец из определённой общины». Однако эта гипотеза слабее: суффикс -г- в чеченских именах чаще указывает на уменьшительно-ласкательную форму, а не на прямой этноним.

Географически фамилия привязана к Чечне и Ингушетии, встречается также среди чеченцев в Дагестане. В дореволюционных записях её могли писать по-разному — Эльдгаев, Эльдаев, Эльдгиев, что связано с особенностями чеченской фонетики и попытками русских писарей передать гортанные звуки. В списках жителей Терской области XIX века фамилия не фигурирует как массовая — она оставалась локальной, родовой.

Сословно предки Эльдгаевых были, вероятно, свободными общинниками или узденями (в чеченском обществе — воины-землевладельцы, не принадлежавшие к знати). Никаких сведений о дворянстве или княжеском происхождении нет. Фамилия не попала в списки титулованных родов Российской империи, что типично для горских фамилий, не прошедших процедуру официального признания.

Известных носителей с общероссийской известностью нет. Фамилия остаётся редкой, за пределами Кавказа почти не встречается. Для носителя это прежде всего знак принадлежности к чеченскому тейпу (роду), где имя предка Эльдга могло быть прозвищем, данным за храбрость или особую черту характера.