Фамилия Элиаури звучит для русского уха экзотично, и это не случайно. Она грузинского происхождения и образована по типичной для западно-грузинских фамилий модели с суффиксом -ури. В грузинском языке этот суффикс указывает на принадлежность к чему-либо или происхождение откуда-либо, примерно как русское прилагательное. Основа фамилии — мужское имя Илья в его грузинской форме Илиа (ილია). Таким образом, Элиаури (ილიაური) буквально означает «принадлежащий Илье» или «из рода Ильи». Фонетический переход начального «И» в «Э» — обычное дело при адаптации грузинских фамилий в русской среде.

По географическому признаку фамилия Элиаури наиболее характерна для региона Рача (историческая область на севере Грузии). В Раче фамилии на -ури встречаются особенно часто. Носители фамилии, скорее всего, потомки человека по имени Илья, который был основателем рода или заметным местным жителем. В сословном плане это могли быть как крестьяне, так и представители мелкого дворянства (азнауры), но точных сведений о принадлежности всех Элиаури к какому-то одному сословию нет.

Фамилия не имеет ничего общего с эллинами или греческим языком, несмотря на внешнее сходство с некоторыми греческими фамилиями. Это чисто грузинская патронимическая фамилия, распространенная в основном в Грузии и среди грузинской диаспоры. Встречаются также варианты написания с одной «л» — Элиаури, что не меняет ни происхождения, ни значения.