Фамилия Елибегова — редкий случай, когда географический акцент почти наверняка перевешивает все прочие догадки. Её основа, «Елибег», — это усечённая тюркская форма имени, которое в полном виде звучало бы как Али-бек. Первая часть, «Али» (араб. «возвышенный», «великий»), — одно из имён Аллаха и распространённый компонент мусульманских имён. Вторая, «бек» (тюрк. «господин», «князь», «владыка»), — титул знатности, который в составе имени указывал на благородное происхождение или высокий статус отца. Слияние «Али» и «бек» дало Алибек, а в бытовой речи, особенно у кумыков, ногайцев или народов Дагестана, начальный гласный мог редуцироваться — так и возникло «Елибег».

Суффикс «-ов(а)» в этой фамилии — не славянский по происхождению, а русифицированное окончание, которое массово добавляли к тюркским и кавказским фамилиям при записи в метрики и ревизские сказки в XIX — начале XX века. Исходная, «чистая» форма фамилии у носителей, скорее всего, звучала как Елибег (или Алибеков/Алибегов в зависимости от диалекта). Поэтому фамилия Елибегова — «женская» версия мужской Елибегов, а мужской вариант образован по модели «сын Елибега».

Главная версия, таким образом, связывает фамилию с тюркско-кавказским регионом: это фамилия потомков человека, которого звали Елибег. Социальный статус предка был выше среднего: «бек» в имени — маркер принадлежности к военной или землевладельческой верхушке, хотя со временем титул мог стать просто частью личного имени и потерять сословную нагрузку. В русском языке фамилия не склоняется по падежам в женском роде, а в мужском — склоняется как обычное притяжательное прилагательное (Елибегова, Елибегову и т.д.). Встречаемость — крайне низкая, что указывает на локальное бытование, вероятнее всего в пределах Дагестана, Ставрополья или среди кумыкской диаспоры.