Фамилия Елтошкин — редкая, и её разбор стоит начать с вопроса, который возникает сразу: откуда взялось «-шк-» в основе? Это не суффикс фамилии (он здесь стандартный -ин), а часть прозвища. Модель образования простая: прозвище Елтошка → фамилия Елтошкин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «сын Елтошки».

Корень «елт-» заставляет задуматься. Самая прямая версия — связь с диалектным глаголом «елтаться» (качаться, болтаться, шататься). В некоторых говорах так говорили о том, кто ходит вразвалку, неуклюже или медлительно. Прозвище Елтошка могли дать человеку с такой походкой или манерой поведения. Подтверждение находим в словаре В. Даля: «елтаться» — в значении «качаться» или «шататься без дела». Это правдоподобнее, чем искать тюркские корни (хотя «елт» в тюркских языках может означать «ветер» или «народ», но для русской фамилии это натяжка).

Другая версия — от имени Елтошка, которое могло быть уменьшительной формой от редкого крестильного имени Елевферий (в просторечии — Елферий, Елтоха). Но тогда ожидалась бы фамилия Елтохин или Елфериев. Вариант с «-шк-» характерен скорее для прозвищ, образованных от глаголов или прилагательных (ср. Болтушка, Вертушка). Поэтому прозвищное происхождение кажется более надёжным.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным областям России — там, где встречается глагол «елтаться». Встречается она нечасто, в основном в Вологодской, Костромской и Кировской областях. В документах XVII–XVIII веков можно найти крестьян и посадских людей с похожими прозвищами — Елтоха, Елтун.

Итог: Елтошкин — потомок человека, которого в деревне прозвали Елтошкой за неторопливую, качающуюся походку или за привычку «елтаться» без дела. Фамилия сохранила редкую глагольную основу, почти не встречающуюся в других русских фамилиях, что делает её ономастической редкостью.