Фамилия Элюакидзе — редкий случай в грузинской ономастике, где исходное имя почти не встречается в современном обиходе. Она образована по самой распространённой в Западной Грузии модели: основа плюс суффикс -дзе (ძე), который по-грузински значит «сын». То есть Элюакидзе — «сын Элюаки».

Основа Элюаки — это грузинская народная форма библейского имени Илья (Илия). В грузинском языке имя Илья звучит как Илиа (ილია), но в диалектах и просторечии оно нередко переходило в формы Элиа, Элио, а с добавлением уменьшительного или разговорного суффикса — в Элюаки. Подобное фонетическое преобразование встречается и в других грузинских фамилиях: например, от имени Георгий образуются Георгадзе, Гигаури, а от Илья — не только Илиадзе, но и Элиадзе, Элюакидзе.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам Грузии — Имеретии, Гурии, Раче. Там суффикс -дзе преобладает над восточным -швили. Встречаемость фамилии крайне низкая: по данным последних переписей, носителей Элюакидзе в Грузии — не более нескольких десятков человек. Это объясняется тем, что исходное имя Элюаки вышло из употребления, а фамилия закрепилась только в одной-двух родственных ветвях.

Интересная деталь: в русских документах XIX — начала XX века фамилию могли записывать как Элиакидзе или даже Илиакидзе — из-за попытки передать грузинское произношение кириллицей. Но форма Элюакидзе точнее отражает народное звучание: с мягким «л» и гласной «ю» в первом слоге. Таким образом, предки носителя этой фамилии — скорее всего, крестьяне или священники из западногрузинского села, названные по имени родоначальника, которого в быту звали Элюака — уменьшительно-ласкательная форма от Илья.