Фамилия Эльжутик — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано с привычными славянскими корнями. С первого взгляда бросается в глаза суффикс -ик, который в русских фамилиях обычно встречается в вариантах на -ик (как Кузнечик) или в западнославянских и украинских моделях (Ковалик). Но основа «Эльжут» звучит совершенно не по-русски. Скорее всего, перед нами фамилия, попавшая в русскую среду из тюркских или кавказских языков.

Вероятнее всего, в основе лежит тюркское личное имя или прозвище. Попробуем разобрать корень «эль-» (в тюркских языках означает «народ», «племя», «страна», «мир») и «жют» (или «жут»). Вторая часть может восходить к тюркскому «йут» — «бедствие», «голод» или к «жүт» (в казахском, киргизском) — «джу́т» (массовый падёж скота от бескормицы). Тогда имя Эльжут могло означать «народное бедствие» — такое имя могли дать в знак трагических событий при рождении ребёнка, как оберег от злой судьбы. Впрочем, это лишь одна из гипотез.

Другая версия отталкивается от того, что фамилия могла быть образована от этнонима или названия местности. Например, «эль» — народ, а «жют» — искажённое «джут» (народность в Южной Азии) или топоним вроде Эль-Джут (гипотетическое название). Но это уже область догадок, так как подтверждений в доступных источниках нет.

Суффикс -ик в такой фамилии — скорее всего, русификация исходного тюркского имени. Когда носитель имени Эльжут попадал в русскоязычную среду, его могли записать в документы с уменьшительным или фамильным суффиксом -ик, как это часто делали с инородческими именами (ср. казахские фамилии на -ов, -ев, но и на -ик тоже). Таким образом, Эльжутик — это не «маленький Эльжут», а «потомок Эльжута», «принадлежащий роду Эльжут».

Сословная принадлежность носителей такой фамилии, скорее всего, была крестьянской или мещанской, и связана она с регионами, где русские соседствовали с тюрками: Поволжье, Урал, Сибирь, Казахстан. Встретить Эльжутика в старой московской аристократии практически невозможно. География фамилии сегодня, судя по единичным упоминаниям в интернете, размыта, но её редкость говорит о том, что род мог быть малочисленным или фамилия сильно видоизменилась при записи.