Фамилия Эмбулаева — редкий случай, когда разбор лучше начинать не с корня, а с суффикса. Форма на -аев (а не на -ев или -ов) сразу указывает на тюркское происхождение. В русских фамилиях этот суффикс закрепился за основами, оканчивающимися на согласный «й» или мягкий знак, но в тюркских языках он часто передаёт звук «ә» или «а» после мягкого согласного. Проще говоря, перед нами адаптация мусульманского имени или прозвища под русскую патронимическую модель: «чей?» — Эмбулаев.

Основа фамилии — Эмбулай (мужское имя или прозвище). В ней отчётливо читаются два компонента: эм и булай. Первая часть, эм, — это тюркское слово со значением «лекарство», «целительство», «заговор» (сравните с казахским «ем» — лечение, «емші» — знахарь). Вторая часть, булай, может восходить к глаголу со значением «становиться», «делаться» или к имени Булат (сталь). Однако более вероятно, что -булай — это вариант тюркского «була» (пёстрый, пятнистый) или указательного местоимения «бул» (этот). В целом, имя Эмбулай могло означать «целитель» или «тот, кто лечит заговорами» — прозвище, данное знахарю или народному врачевателю.

Географически фамилия тяготеет к Северному Кавказу и Поволжью, особенно к среде кумыков, ногайцев или татар. В русских метрических книгах и ревизских сказках XIX века она почти не встречается, что говорит о её поздней фиксации: фамилии у горских народов и тюркских этносов Российской империи массово оформляли только во второй половине XIX — начале XX века, часто при переписях или призыве на военную службу. Поэтому у Эмбулаевых, скорее всего, не было дворянского или купеческого сословия — это фамилия сельских жителей, ремесленников или воинов.

Интересная деталь: вариант написания с буквой «Э» (а не «Е») — признак того, что фамилию записывали со слуха, стараясь передать твёрдое начало слова. В документах советского времени могла закрепиться форма Ембулаев, но исходная Эмбулаева сохранила архаичное произношение. Однокоренные фамилии — Эмбулатов, Эмбулашвили (если носитель переехал в Грузию) — встречаются редко, что подчёркивает уникальность этого ономастического гнезда.

Если ваши предки — Эмбулаевы, они с высокой вероятностью происходят из среды тюркоязычных мусульман, где прозвище, данное за умение лечить травами или заговорами, стало родовым именем. Фамилия не получила широкого распространения, поэтому каждый её носитель — носитель редкой и очень локальной истории.